---
title: "Распределения"
author: "Тушавин В.А."
date: '19 октября 2016 г '
output: html_document
---

```{r setup, include=FALSE}
knitr::opts_chunk$set(echo = TRUE)
```

Рассмотрим различные распределения, о которых мы говорили во время регрессионного анализа.

### 1. Нормальное распределение.
```{r}
library(vioplot)
library(beanplot)

set.seed(2016)
n1 <- rnorm(300)
# Следующая команда позволяет поместить 4 графика в 1
layout(matrix(c(1,2,3,4), 2, 2, byrow = F), respect = TRUE)
dotchart(n1,pch=19,main="Диаграмма Кливленда")
vioplot(n1)
qqnorm(n1)
qqline(n1)
beanplot(n1)
```

### 2. Сумма двух нормальных распределений дает нормальное распределение

```{r}
n2 <- rnorm(300)
d1 <- n1+n2
dotchart(d1,pch=19,main="Диаграмма Кливленда")
vioplot(d1)
qqnorm(d1)
qqline(d1)
beanplot(d1)
shapiro.test(d1)

```

Для проведения теста Колмогорова-Смирнова нужно знать параметры распределения. Матожидание суммы нормальных распредений равно сумме матожиданий, а дисперсия равна сумме дисперсий. Для суммы двух стандартных распределений имеем: \(\mathcal {N}(0,1)+\mathcal {N}(0,1) \equiv \mathcal {N}(0,\sqrt2)\)

```{r}
ks.test(d1,"pnorm",0,sqrt(2))
```


### 3. Распределение Хи-квадрат

Сумма квадратов стандартных нормальных распределений дает распределение хи-квадрат со степенью свободы, равной числу слагаемых.


```{r}
d2 <- n1^2+n2^2
dotchart(d2,pch=19,main="Диаграмма Кливленда")
vioplot(d2)
qqnorm(d2)
qqline(d2)
beanplot(d2)
```

Обратите внимание, что на последнем графике использована логарифмическая шкала.

Сравним распределение с теоретическим \(\chi^2\) с двумя степенями свободы:

```{r}
ks.test(d2,"pchisq",2)
```

```{r}
qqplot(qchisq(ppoints(500), df = 2), d2)
qqline(d2, distribution = function(p) qchisq(p, df = 2),
       prob = c(0.1, 0.6), col = 2)

```

Из определения получаем моменты распределения хи-квадрат. Если \(Y \sim \chi ^{2}(k) \), то \(\mathbb {E} [Y]=k=2, \mathrm {D} [Y]=2k=4 \).

```{r}
mean(d2)
var(d2)

```

Также известно, что распределение хи-квадрат с двумя степенями свободы совпадает с экспоненциальным распределением: \( \chi ^{2}(2)\equiv \mathrm {Exp} (1/2) \).

```{r}
ks.test(d2,"pexp",1/2)
```


### 4. Распределение Фишера

Если \(Y_{1}\sim \chi ^{2}(k_{1})\) и \(Y_{2}\sim \chi ^{2}(k_{2})\) , то случайная величина

\[F=\frac {Y_{1}/k_{1}}{Y_{2}/k_{2}}\]

имеет распределение Фишера со степенями свободы \((k_{1},k_{2})\) 

```{r}
k1<-2
k2<-3
y1<-rchisq(300,k1)
y2<-rchisq(300,k2)
F0<-(y1/k1)/(y2/k2)
dotchart(F0,pch=19,main="Диаграмма Кливленда")
vioplot(F0)
qqnorm(F0)
qqline(F0)
beanplot(F0)
ks.test(F0,"pf",k1,k2)
```

### 5. Распределение Стьюдента

Пусть \(Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}\) — независимые стандартные нормальные случайные величины, такие что \(Y_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1),\;i=0,\ldots ,n\). Тогда распределение случайной величины t, где

\[t={\frac {Y_{0}}{\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum \limits _{i=1}^{n}Y_{i}^{2}}}},\]
называется распределением Стьюдента с  n степенями свободы \(t\sim \mathrm {t} (n)\).

```{r}
y0<-rnorm(300)
y1<-rnorm(300)
y2<-rnorm(300)
t0<-y0/(sqrt((y1^2+y2^2)/2))

dotchart(t0,pch=19,main="Диаграмма Кливленда")
vioplot(t0)
qqnorm(t0)
qqline(t0)
beanplot(t0)
ks.test(t0,"pt",2)
```

### Данные о параметрах R

```{r}
sessionInfo()

```